Fibonacci

zn+2/un+2 =


bewijs:
De splitsing van een rij in een rood en een blauw deel levert de vergelijking z_n+1 = (10^F_n-1)z_n + z_n-1,
met z₁ = 0 en z₂ = 1.
u_n voldoet aan dezelfde recursie, dus u_n+1 = (10^F_n-1)u_n + u_n-1, maar nu is u₁ = u₂ = 1.
We willen aantonen dat z_n+2/u_n+2 bovenstaande kettingbreuk voorstelt.
Daartoe maken we een rijtje getallen a₁, a₂, ..., a_n.
a_r (1≤r≤n) wordt impliciet gedefinieerd door z_n+2/u_n+2 = (a_rz_r+1 + z_r) / (a_ru_r+1 + u_r)
{{expliciet: a_r = (z_ru_n+2 - z_n+2u_r)/(z_n+2u_r+1 - z_r+1u_n+2)}}
De recursies voor z_n+2 en u_n+2 vertellen ons dat z_n+2/u_n+2 = ((10^F_n)z_n+1 + z_n)/((10^F_n)u_n+1 + u_n)
Hieruit lezen we onmiddellijk af dat a_n = 10^F_n
(a_rz_r+1 + z_r) / (a_ru_r+1 + u_r) =
(a_r((10^F_r-1)z_r + z_r-1) + z_r) / (a_r((10^F_r-1)u_r + u_r-1) + u_r) =
{{teller en noemer door a_r delen}} =
(a_r-1z_r + z_r-1) / (a_r-1u_r + u_r-1) met a_r-1 = 10^F_r-1 + 1 / a_r.

We hebben gevonden de relaties a_n = 10^F_n en a_r-1 = 10^F_r-1 + 1 / a_r voor 1<r≤n.
Dit levert voor a₁ een kettingbreukontwikkeling, want a₁ = 10^F₁ + 1 / a₂ = 10^F₁ + 1 / (10^F₂ + 1 / a₃) = ... .
Dus is z_n+2/u_n+2 = (a₁z₂ + z₁) / (a₁u₂ + u₁) = a₁/(a₁ + 1) =
1/(10^F₀ + 1/a₁) = 1/(10^F₀ + 1/(10^F₁ + 1/a₂)) enz.