Fibonacci

Bewijs:

We willen aantonen dat
F_p+iF_q-i - F_pF_q = (-1)^k(F_p+i+kF_q-i+k - F_p+kF_q+k)

Het is duidelijk dat als we deze stelling kunnen bewijzen voor alle k≥0, dan is deze stelling automatisch ook juist voor alle k≤0 (immers, verwissel maar linker en rechter lid en vervang p en q door respectievelijk p-k en q-k).
Nu het bewijs. Met volledige inductie:
Het is triviaal dat de veronderstelling juist is voor k = 0.
Stel dat de bewering juist is voor k=t. We hebben dan de stelling volledig bewezen als we kunnen aantonen dat
(-1)^t+1(F_p+i+t+1F_q-i+t+1 - F_p+t+1F_q+t+1) = (-1)^t(F_p+i+tF_q-i+t - F_p+tF_q+t) ofwel dat
-(F_p+i+t+1F_q-i+t+1 - F_p+t+1F_q+t+1) = F_p+i+tF_q-i+t - F_p+tF_q+t.
Vervang even voor de overzichtelijkheid p+t door u en q+t door v. We moeten dus aantonen dat
-(F_u+i+1F_v-i+1 - F_u+1F_v+1) = F_u+iF_v-i - F_uF_v.
We maken gebruik van de teleskoopsom
F_u+iF_v-i - F_uF_v = (F_u+iF_v-i - F_u+i-1F_v-i+1) + (F_u+i-1F_v-i+1 - F_u+i-2F_v-i+2) + ... + (F_u+1F_v-1 - F_uF_v).

Als we nu kunnen aantonen dat F_xF_y - F_x-1F_y+1 = -(F_x+1F_y+1 - F_xF_y+2) voor willekeurige x en y, dan kunnen we in de teleskoopsom alle indices één ophogen (en natuurlijk voor het geheel een min zetten). De uitkomst van die teleskoopsom geeft dan het resultaat dat we zochten.
De vergelijking F_xF_y - F_x-1F_y+1 = -(F_x+1F_y+1 - F_xF_y+2) kunnen we ook zó schrijven:
F_x(F_y+2 - F_y) = F_y+1(F_x+1 - F_x-1)
Nu is F_y+2 - F_y = F_y+1 en F_x+1 - F_x-1 = F_x, dus de formules in x en y zijn juist en de stelling is volledig bewezen.



We willen aantonen dat
F_p+iF_q+iF_r+i - (-1)ⁱL_iF_pF_qF_r + (-1)ⁱF_p-iF_q-iF_r-i = F_iF_2iF_p+q+r
We maken daarbij gebruik van de formules
F_p+iF_q+i - (-1)ⁱF_pF_q = F_iF_p+q+i    (1) en
F_p+iF_q+i - F_p-iF_q-i = F_2iF_p+q    (2)
F_iF_2iF_p+q+r =
{{ Vervang in (2) p door p+q en q door r en vermenigvuldig het resultaat met F_i }}
F_iF_p+q+iF_r+i - F_iF_p+q-iF_r-i =
{{ Gebruik formule (1) twee maal,
1 maal rechtstreeks en 1 maal door in (1) eerst p en q te vervangen door p-i en q-i }}
(F_p+iF_q+i - (-1)ⁱF_pF_q)F_r+i - (F_pF_q - (-1)ⁱF_p-iF_q-i)F_r-i =
F_p+iF_q+iF_r+i - (-1)ⁱF_pF_qF_r+i - F_pF_qF_r-i + (-1)ⁱF_p-iF_q-iF_r-i =
F_p+iF_q+iF_r+i - (-1)ⁱF_pF_q{F_r+i + (-1)ⁱF_r-i) + (-1)ⁱF_p-iF_q-iF_r-i =
{{ F_r+i + (-1)ⁱ F_r-i = F_r L_i, zie formule 15c.) }}
F_p+iF_q+iF_r+i - (-1)ⁱL_iF_pF_qF_r + (-1)ⁱF_p-iF_q-iF_r-i