Bewijs:
 Deze matrix heeft een eigenwaarde φ. A(1,φ)T = (1,φ)T, dus de lijn y = φx blijft onveranderd na transformatie door matrix A. Als we het biljart spiegelen in alle randen en die beelden opnieuw spiegelen enz. enz., dan krijg je een patroon van vierkantjes (zoals in de tekening hiernaast is weergegeven). De baan van de biljartbal kunnen we m.b.v. de spiegelingen weergeven met een rechte lijn. Als we op dit ruitjespatroon de transformatie met matrix A toepassen krijgen we een patroon van parallelogrammetjes. Matrix A heeft uiteraard geen invloed op het botsingenpatroon weergegeven door ω = 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ... . Dus na de transformatie door A krijgen we de reeks ω` = 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ... . Echter, we zien in de tekening dat elke 1 in ω correspondeert met 10 in ω`, en elke 0 in ω correspondeert met een 1 in ω'. En deze eigenschap was juist zo kenmerkend voor het rijtje ω. N.B. Het is eenvoudig na te gaan dat de elementen van de matrix An Fibonaccigetallen zijn. |
|