Fibonacci

zn+2/un+2 =


Beweis:
Die Spaltung einer Reihe in einen roten und einen blauen Teil liefert die Gleichung z_n+1 = (10^F_n-1)z_n + z_n-1,
mit z₁ = 0 und z₂ = 1.
u_n genügt dieselbe Rekursion, also u_n+1 = (10^F_n-1)u_n + u_n-1, aber nun ist u₁ = u₂ = 1.
Wir wollen zeigen dass die Kettenbruchentwicklung von z_n+2/u_n+2 ist wie obenerwähnt.
Dazu definieren wir eine Reihe Zahlen a₁, a₂, ..., a_n.
a_r (1≤r≤n) wird implizit definiert durch z_n+2/u_n+2 = (a_rz_r+1 + z_r) / (a_ru_r+1 + u_r)
{{explizit: a_r = (z_ru_n+2 - z_n+2u_r)/(z_n+2u_r+1 - z_r+1u_n+2)}}
Die Rekursionen für z_n+2 und u_n+2 besagen dass z_n+2/u_n+2 = ((10^F_n)z_n+1 + z_n)/((10^F_n)u_n+1 + u_n)
Daraus folgern wir sofort dass a_n = 10^F_n
(a_rz_r+1 + z_r) / (a_ru_r+1 + u_r) =
(a_r((10^F_r-1)z_r + z_r-1) + z_r) / (a_r((10^F_r-1)u_r + u_r-1) + u_r) =
{{Zähler und Nenner dividieren durch a_r}} =
(a_r-1z_r + z_r-1) / (a_r-1u_r + u_r-1) mit a_r-1 = 10^F_r-1 + 1 / a_r.

Wir haben nun die folgenden Beziehungen a_n = 10^F_n und a_r-1 = 10^F_r-1 + 1 / a_r für 1<r≤n.
Das liefert für a₁ eine Kettenbruchentwicklung, denn a₁ = 10^F₁ + 1 / a₂ = 10^F₁ + 1 / (10^F₂ + 1 / a₃) = ... .
Also ist z_n+2/u_n+2 = (a₁z₂ + z₁) / (a₁u₂ + u₁) = a₁/(a₁ + 1) =
1/(10^F₀ + 1/a₁) = 1/(10^F₀ + 1/(10^F₁ + 1/a₂)) usw.