Beweis:
(a,b) Werte  = reset |
(xn,yn) Werte |
Wenn man im linken Bild klickt im Kreis über dem nierenförmigen Gebied, und sodann einige Male im rechten Bild, dann wird klar dass im rechten Bild die Punktreihe (x0,y0), (x1,y1), usw. entsteht. Die Punkte kriegen nach 3 Punkten in der Ebene (3 "anziehende" Grenzwerte).
Klicken Sie dahingegen sodann im linken Bild ein wenig unter dem Kreisrand, das sich über dem nierenförmigen Gebied befindet, dann kriegen die Punkte langsam weg von den ersten drei Anfangswerte ("abstoßend") zu einem gemeinsamen Grenzwert.
Wenn sich ein Punkt (xn,yn) befindet in der Nähe eines solchen Grenzpunktes (x,y), dann muß der nächste Punt (xn+1,yn+1) noch dichter neben (x,y) liegen. (x,y) ist "anziehend" und nicht "abstoßend".
Nehme mal an dass (xn,yn) dicht neben (x,y) liegt.
Bequemlichkeitshalber wählen wir (xn,yn) = (x+h,y) mit h eine kleine Zahl.
Dann ist (xn+1,yn+1) = ((x+h)2-y2+a,2(x+h)y+b).
Wir verlangen das für kleine h-Werte gilt:
((xn+1-x)2 + (yn+1-y)2) < ((xn-x)2 + (yn-y)2)oder (xn+1-x)2 + (yn+1-y)2 < (xn-x)2 + (yn-y)2
oder ((x+h)2-y2+a-x)2 + (2(x+h)y+b-y)2 < h2
oder (x2-y2+a-x+h2+2hx)2 + (2xy+b-y+2hy)2 < h2
Nun ist x = x2-y2+a und y = 2xy+b, also muß gelten
(h2+2hx)2 + (2hy)2 < h2
Dividiere nun durch h2, dann ist (h+2x)2 + (2y)2 < 1
Da diese Ungleichheit stimmt für alle sehr kleine h-Werte, uns also auch für den Grenzwert von h nach 0, gilt:
(2x)2 + (2y)2 ≤ 1 oder x2 + y2 ≤ 1/4