Fibonacci
Bewijs:
Zunächst müssen wir uns überzeugen dass die Zahlen F2m/F2m+1 in Fareyreihen auftreten.
Das is einfach, denn bei Brüchen der Form Fn/Fn+1 sind Zähler und Nenner teilerfremd. Das ergibt sich aus Eine bemerkenswerte Eigenschaft
oder aus der Formel (Fn)2 + Fn+1Fn - (Fn+1)2 = (-1)n+1 (oder induktiv aus der Rekursion Fn+2 = Fn+1 + Fn).
Sodann müssen die Zahlen 1/2 + 1/8 + ... + 1/22m-1 auftreten in alternativen Reihen (was klar ist wenn man alles unter einen Nenner bringt).
Wir zeigen nun zuerst dass für jedes n Fn/Fn+1 ein Nachbar ist von Fn+1/Fn+2
in der Fn+2-ten Fareyreihe.
Die Behauptung isr richtig für n=1, denn F1/F2 (=1) und F2/F3 (=1/2) sind Nachbarn in der F3-ten (=zweiten) Reihe.
Setze mal voraus, dass wir schon bewiesen haben für gewisses r>0, dass Fr/Fr+1 und Fr+1/Fr+2 Nachbarn sind in der Fr+2-ten Reihe,
dann zeige ich jetzt dass Fr+1/Fr+2 und Fr+2/Fr+3 Nachbarn sind in der Fr+3-ten Reihe.
Damit ist dann die Behauptung induktiv bewiesen.
Nun denn, Fr+2/Fr+3 = (Fr+Fr+1)/(Fr+1+Fr+2) wird in der Fr+3-ten Reihe
eingefügt zwischen Fr/Fr+1 und Fr+1/Fr+2. Offenbar ist dann Fr+2/Fr+3 ein Nachbar von Fn+1/Fn+2
in der Fr+3-ten Reihe.
(Schluß, induktiv). Wenn F2m/F2m+1 übereinstimmt mit am = 1/2 + 1/8 + ... + 1/22m-1 und
F2m+1/F2m+2 mit am + 1/22m (stimmt für m=1), dann stimmt
F2m+2/F2m+3 (=(F2m+F2m+1)/(F2m+1+F2m+2)) überein mit (am + (am + 1/22m))/2
= am+1 und
F2m+3/F2m+4 mit (am + 1/22m) + am+1 =
am+1 + 1/22.(m+1). Und damit ist alles bewiesen.