Fibonacci

Einige allgemeine Formeln (1. Teil)

Summe und Differenz von Quadraten.

F_n+k² - F_n-k² = F_2nF_2k
Für die Summe F_n+k² + F_n-k² ist im allgemeinen keine einfache Formel zu finden.
F_n+k+1² + F_n-k² = F_2n+1F_2k+1
Für die Differenz F_n+k+1² - F_n-k² gibt es noch für k=0 und k=1 die nächsten Formeln
1.) F_n+1² - F_n² = F_n-1F_n+2 und
2.) F_n+2² - F_n-1² = 4F_nF_n+1
Die ersten zwei Formeln kann man zusammenfügen in die Formel: F_a² - (-1)^a+bF_b² = F_a+bF_a-b
Für die Lucaszahlen gilt eine derartige Formel: L_a² - (-1)^a+bL_b² = 5F_a+bF_a-b

Summe und Differenz von Produkten.

Die ersten zwei Formeln dieser Seite sind Sonderfälle der allgemeinen Formel:
3.) F_p+iF_q+i - (-1)ⁱF_pF_q = F_iF_p+q+i    
Die übereinstimmende Lucasvariante ist:
4.) L_p+iL_q+i - (-1)ⁱL_pL_q = 5F_iF_p+q+i
und die übereinstimmenden Mischvarianten sind:
5.) F_p+iL_q+i - (-1)ⁱF_pL_q = F_iL_p+q+i und
6.) F_p+iL_q+i + (-1)ⁱL_pF_q = L_iF_p+q+i und
7.) 5F_p+iF_q+i + (-1)ⁱL_pL_q = L_iL_p+q+i und
8.) L_p+iL_q+i + 5(-1)ⁱF_pF_q = L_iL_p+q+i


Eine andere ähnliche Variante ist
9.) F_p+iF_q - F_pF_q+i = (-1)^pF_iF_|q-p|
Ihr Lucas Gegenteil lautet:
10.) L_p+iL_q - L_pL_q+i = -5(-1)^pF_iF_|q-p|
Die Mengformen lauten:
11.) F_p+iL_q - F_pL_q+i = (-1)^pF_iL_|q-p| und
12.) F_p+iL_q - L_pF_q+i = -(-1)^pL_iF_|q-p| und
13.) 5F_p+iF_q - L_pL_q+i = L_iL_|q-p| und
14.) L_p+iL_q - 5F_pF_q+i = -L_iL_|q-p|

Noch allgemeiner

A.) F_p+iF_q-i - F_pF_q = (-1)^k(F_p+i+kF_q-i+k - F_p+kF_q+k) (Beweis)
B.) L_p+iL_q-i - L_pL_q = (-1)^k(L_p+i+kL_q-i+k - L_p+kL_q+k)
C.) F_p+iL_q-i - F_pL_q = (-1)^k(F_p+i+kL_q-i+k - F_p+kL_q+k)
D.) L_p+iL_q-i - 5F_pF_q = (-1)^k(L_p+i+kL_q-i+k - 5F_p+kF_q+k)
E.) F_p+iL_q-i - L_pF_q = (-1)^k(F_p+kL_q+k - L_p+i+kF_q-i+k)

Summenformeln und Verdoppelungsformeln.

Mit 6.) und i=0 erhalten wir eine bekannte Summenformel für F:
15.) F_pL_q + L_pF_q = 2F_p+q
Mit 8.) undt i=0 erhalten wir eine bekannte Summenformel für L:
16.) L_pL_q + 5F_pF_q = 2L_p+q
Mit 15.) und q=p erhalten wir eine bekannte Verdoppelungsformel für F:
17.) F_2p = F_pL_p
Mit 7.) und i=0 und p=q=m folgt: 5F_m² + L_m² = 2L_2m und
mit 4.) und i=m und p=q=0 folgt: L_m² - 4(-1)^m = 5F_m²
Schaffen wir 5F_m² aus diesen zwei Gleichungen fort, so gibt das die berühmte Verdoppelungsformel für L:
18.) L_2m = L_m² - 2(-1)^m
Mit Hilfe von 15.), 17.) und 18.) können wir noch die folgende Verallgemeinerung von 17.) ausdenken:
17a.) F_2p+q + (-1)^pF_q = F_p+qL_p