Fibonacci

Einige allgemeine Formeln (2. Teil)

Summe und Differenz von Produkten.

Auf der vorigen Seite wurde die Formel
F_p+iF_q+i - (-1)ⁱF_pF_q = F_iF_p+q+i
erwähnt. Wir können diese Formel etwas symmetrischer schreiben
indem wir das i durch 2i ersetzen und p und q durch p-i bzw. q-i. Das liefert:
F_p+iF_q+i - F_p-iF_q-i = F_2iF_p+q
Wir möchten diese zwei Formeln verallgemeinern. Wir wollen eine Formel finden mit den Gliedern
F_p+iF_q+iF_r+i,      F_p-iF_q-iF_r-i und F_p+q+r. We erhalten die nächste Variante:

F_p+iF_q+iF_r+i - (-1)ⁱL_iF_pF_qF_r + (-1)ⁱF_p-iF_q-iF_r-i = F_iF_2iF_p+q+r (Beweis)
Für i=1 liefert dies die hübsche Formel
F_p+1F_q+1F_r+1 + F_pF_qF_r - F_p-1F_q-1F_r-1 = F_p+q+r
Die entsprechende Lucas-Variante ist:
L_p+iL_q+iL_r+i + 25(-1)ⁱF_iF_pF_qF_r - (-1)ⁱL_p-iL_q-iL_r-i = 5L_iF_2iF_p+q+r
und die entsprechenden Mischvarianten sind:
L_p+iF_q+iL_r+i + 5(-1)ⁱF_iF_pL_qF_r - (-1)ⁱL_p-iF_q-iL_r-i = L_iF_2iL_p+q+r
F_p+iL_q+iF_r+i - (-1)ⁱL_iF_pL_qF_r + (-1)ⁱF_p-iL_q-iF_r-i = F_iF_2iL_p+q+r

Einige andere Verallgemeinerungen.

Wir können bei der Formel F_p+2 = F_p+1 + F_p die nächsten Verallgemeinerungen erdenken:
F_p+3F_q+3 = 2F_p+2F_q+2 + 2F_p+1F_q+1 - F_pF_q und
F_p+4F_q+4F_r+4 = 3F_p+3F_q+3F_r+3 + 6F_p+2F_q+2F_r+2 - 3F_p+1F_q+1F_r+1 - F_pF_qF_r.
Sieh auch die nächste Seite.

F₁ + F₂ + F₃ + ... + F_n = F_n+2 - 1 und
F₁ + F₃ + F₅ + ... + F_2*n+1 = F₁ + (F₁ + F₂) + (F₃ + F₄) + ... + (F_2*n-1 + F_2*n) = 1 + F_2*n+2 - 1 = F_2*n+2
Im allgemeinen {{ Zu beweisen mit voll. Induktion nach k und mittels Formel 1 }}:
F_a + F_a+r + F_a+2r + ... + F_a+kr = ((-1)^rF_a+kr - F_a+(k+1)r + (-1)^aF_r-a + F_a)/(1 - L_r + (-1)^r).