Fibonacci

Einige allgemeine Formeln (3. Teil)

Einzelfälle.

Wenn wir auf der vorigen Seite p, q und r aneinander gleichstellen, dann bekommen wir interessante Formeln, z.B.:
F_3p = F_p+1³ + F_p³ - F_p-1³ und
F_p+3² - 2F_p+2² - 2F_p+1² + F_p² = 0.
Formel 1 aus "Eine besondere Eigenschaft" können wir für ungerades q! zu
F_p+2q - F_p = L_qF_p+q umgestalten.
Nun ist F_p+2q - F_p = F_p-1 + F_p + ... + F_p+2q-2, also (q=3, p=n+1):
Die Summe von 6 aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen F_n + F_n+1 + ... + F_n+5 ist gleich 4F_n+4
und (q=5, p=n+1) F_n + F_n+1 + ... + F_n+9 = 11F_n+6

Varia.

(L_m/2 + 5 F_m/2)(L_n/2 + 5 F_n/2) = L_m+n/2 + 5 F_m+n/2 und
L₀/2 + 5 F₀/2 = 1, also:
Die Menge {L_m/2 + 5 F_m/2) | m ganz} bildet mit der normalen Multiplikation eine multiplikative Gruppe.

Definiere F!_m = F₁F₂...F_m für m>0 und F!₀=1 und
F_n,m = F!_n/(F!_mF!_n-m),
dann ist F_n,m ganz für n≥m≥0 und
2F_n,m = L_mF_n-1,m + L_n-mF_n-1,m-1

Ein Verallgemeinerung einer Formel der vorigen Seite.
F_p1+mF_p2+m...F_pm-1+m = F_m,m-1F_p1+m-1F_p2+m-1...F_pm-1+m-1 + ...
+(-1)^[(m-k-1)/2] F_m,kF_p1+kF_p2+k...F_pm-1+k +...
(-1)^[(m-1)/2] F_m,0F_p1F_p2...F_pm-1.


Ist A = (a_i,j) die 2x2 Matrix mit a₁₁ = a₁₂ = a₁₂ = 1 und a₂₂ = 0, also A = ( 1 , 1  ;  1 , 0 ), dann ist
Aⁿ = ( F_n+1 , F_n  ;  F_n , F_n-1 ).
Ist A = ( 0 , 0 , 1  ;  0 , 1 , 2  ;  1 , 1 , 1 ), dann ist
Aⁿ = ( F_n-1² , F_n-1F_n , F_n²  ;  2F_n-1F_n , F_n+1²-F_n-1F_n , 2F_nF_n+1  ;  F_n² , F_nF_n+1 , F_n+1² ).
Ist A = ( F_n² , F_n+1² , F_n+2²  ;  F_n+1² , F_n+2² , F_n+3²  ;  F_n+2² , F_n+3² , F_n+4² ), dann ist
det(A) = 2(-1)ⁿ⁺¹.