Fibonacci

Fibonacci auf dem Damebrett (Teil 2)


Um in die fünfte Reihe zu gelangen braucht man mindestens 18 Züge. (Probieren Sie es selber aus). Wie viel Züge man mindestens braucht um in die sechste Reihe zu gelangen ist mir nicht bekannt. (Mein Rekord ist 48 Züge.)
Wir überschlagen dieses Problem und betrachten das Problem: Wie viel Züge braucht man mindestens um in die siebte Reihe zu gelangen?
Im Diagramm haben wir einige gefärbte Quadrate mit einer Zahl versehen. Die Zahlen sind Potenzen von µ.
µ = (5 - 1)/2 (der Kehrwert des Goldenen Schnittes).           Man verifiziere leicht dass µ² + µ = 1.
Beim Schlagen nimmt die Summe der Zahlen unter den Damesteinen ab oder sie bleibt unverändert.
Wir werden nun zeigen, dass (unabhängig der Größe des Brettes) die Summe aller Zahlen unter den besetzten Quadraten immer kleiner ist als 1.
Da beim Schlagen die Summe der Zahlen unter den besetzten Quadraten nie größer wird, wird man nie in die siebente Reihe gelangen.
Das ist ein überraschendes Ergebnis, oder?
Wir werden nun versuchen alle Zahlen unter den Damesteinen zusammenzuzählen. (in der Anfangsstellung). In der Anfangsstellung befinden sich alle Steine hinter der roten Linie.



Behauptung: 1 + µ + µ² + µ³ + ... + µ^k < 1/(1 - µ) für jede positive ganze Zahl k, oder
(1 - µ)(1 + µ + µ² + µ³ + ... + µ^k) < 1.
Beweis: (1 - µ)(1 + µ + µ² + µ³ + ... + µ^k) =
1.(1 + µ + µ² + µ³ + ... + µ^k) - µ.(1 + µ + µ² + µ³ + ... + µ^k) = {{ausschreiben}}
1 + µ + µ² + µ³ + ... + µ^k - µ - µ² - µ³ - ... - µ^k+1 = {{die meisten Terme entfallen}}
1 - µ^k+1 < 1. q.e.d.

Wir werden zuerst die Summe der Zahlen unter dem "unendlichen" Dreieck berechnen (gebildet aus Diag. a, Diag. b, usw).
Die Summe der Zahlen unter Diag. a ist kleiner als 1/(1 - µ), wie wir gerade bewiesen haben.
Wenn man alle Zahlen unter Diag. a mit µ multipliziert, dann bekommt man die Zahlen der Diag. b. (abgesehen von der Länge der Diagonalen.)
Also, die Summe der Zahlen der Diagonale b = µ mal die Summe der Zahlen der Diag. a, das heisst < µ/(1 - µ).
Wir können also folgern dass die Summe der Zahlen unter den Diagonalen Diag. a, Diag. b uns. kleiner is als 1/(1 - µ) + µ/(1 - µ) + µ²/(1 - µ) + usw.
Klammert man die Faktoren 1/(1 - µ) aus, dann bekommt man (1/(1 - µ)).(1 + µ + µ² + usw.) und das ist, wie wir schon wissen, immer kleiner als (1/(1 - µ)).(1/(1 - µ)) = 1/(1 - µ)².
Nun betrachten wir die Zahlen unter Diag. 1, Diag. 2 usw.
Wenn wir die Zahlen der Diag. a mit µ⁹ multiplizieren, dann erhalten wir die Zahlen der Diagonale 1. Also ist die Summe der Zahlen der Diag. 1 kleiner als µ⁹/(1 - µ).
Die Summe der Zahlen unter Diag. 1 + Diag. 2 usw. ist also kleiner als µ⁹/(1 - µ) + µ¹¹/(1 - µ) + µ¹³/(1 - µ) + usw.
Klammer jetzt µ⁹/(1 - µ) aus. Das ergibt: (µ⁹/(1 - µ)).(1 + (µ²) + (µ²)² + (µ²)³ + usw.).
Diese Summe ist < (µ⁹/(1 - µ)).(1/(1 - µ²)) = µ⁹/((1 - µ)(1 - µ²)).
Bleibt noch übrig alles zusammenzuzählen und davon das oberste Dreieck zu substrahieren: Die Summe aller Zahlen unter den Damesteinen ist 1/(1 - µ)² + 2.µ⁹/((1 - µ)(1 - µ²)) - 1 - 2µ - 3µ² - 4µ³ - 5µ⁴ - 6µ⁵ - 7µ⁶ = {{Rechenmachine}}
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