Fibonacci

Elliott's Wellenprinzip

Der Amerikanische Bücherrevisor R.N. Elliott veröffentlichte im Jahre 1939 einige Aufsätze worin er seine Theorie vom Betragen der Aktienmärkte auseinandersetzte. Er setzte voraus dass die kontinuierliche Schwankungen in dem Markt durch die Gemütsbeschaffenheiten der Masse hervorgerufen werden, die fortwährend hin und her geschleudert wird zwischen Pessimismus und Optimismus.


Figur 1

Figur 2

Figur 3

In Figur 1 sehen wir eine elementare Welle. Der Kurs steigt zuerst schnell und fällt dann zurück. Wenn wir einen längeren Zeitabschnitt betrachten, dann bemerken wir einen Verlauf wie in der zweiten Figur (stilistisch) dargestellt wird. Darin sind 3 steigende und 2 fallende Intervalle vor dem höchsten Punkt und 2 fallende Intervalle und 1 steigendes Intervall nach dem höchsten Punkt zu entdecken.
Intensives Studium über eine längere Periode vom Benehmen der Börse von Wall Street führte Elliott zu der folgenden Schlußfolgerung. Jede graphische Darstellung der Kurse zeigt die kontinuierliche Wiederholung des spezifischen Musters von 5 Intervallen vor dem höchsten Punkt und 3 danach, und das in jeder Skala und in jedem Umfang. Dies werde ich noch etwas verdeutlichen.
Wenn wir Figur 1 und Figur 2 aufeinander projizieren sehen wir dass de Spitzen und Randpunkte zusammenfallen. Man kann Figur 2 als eine Verfeinerung der Figur 1 betrachten. Der Unterschied liegt an der unterschiedlichen Zeitdauer der Messungen. (Bemerke, dies sei eine stilistische Wiedergabe der Wirklichkeit; die Form und die Anzahl der Spitzen ist nicht immer gleich, aber das Muster von 5 Intervallen vor und 3 nach dem höchsten Punkt ist immer zu erkennen.) Figur 3 ist eine graphische Darstellung des Kurses über eine noch längere Periode. Wir bemerken das diese Darstellung eine Verfeinerung von Figur 2 ist. Man kann dieses Verfahren bis ins Unendliche (unenlich lange Zeit) fortsetzen. Wenn wir in den Figuren die Anzahl Intervalle nach dem höchsten Punkt, vor dem höchsten Punkt, und die Gesamtheit der Intervalle neben einander stellen dann bekommen wir die nachfolgende Tabelle:

Figur	nach	vor	total
Fig. 1	1	1	2
Fig. 2	3	5	8
Fig. 3	13	21	34


Wir entdecken darin die Fibonaccifolge.
Um die Fibonaccizahlen in der Tabelle zu erklären bemerken wir, dass es zwei Arten von Intervallen gibt. Die eine Art (Art A) soll im nächsten Schritt in 3 Stücke verteilt werden und die andere (Art B) in 5 Stücke. Wir teilen die vorangehende Tabelle auf:

Figur	nach (A)	nach (B)	vor (A)	vor (B)
Fig. 1	1	0	0	1
Fig. 2	1	2	2	3
Fig. 3	5	8	8	13

Die Zahlen aus der ersten Tabelle sind unmittelbar aus dieser Tabelle zu extrahieren.
In der k-ten Reihe dieser Tabelle vermuten wir die Zahlen F_3k-4, F_3k-3, F_3k-3 und F_3k-2.
Das stimmt für k=1, denn wegen der Rekursion ist F₀ = 0 und F_-1 = 1.
Nehmen wir mal an, wir hätten die Vermutung für k<=N schon bewiesen. Dann müssen wir zeigen, dass die Vermutung auch für k=N+1 stimmt. Wenn wir die Intervalle in 3 oder 5 Stücke verteilen erhalten wir für die N+1-ste Reihe:
Nach (A): F_3N-4 + 2F_3N-3 = F_3N-2 + F_3N-3 = F_3N-1;
Nach (B): 2F_3N-4 + 3F_3N-3 = 2F_3N-2 + F_3N-3 = 2F_3N-1 + F_3N-2 = F_3N;
Vor (A): F_3N-3 + 2F_3N-2 = F_3N-1 + F_3N-2 = F_3N;
Vor (B): 2F_3N-3 + 3F_3N-2 = 2F_3N-1 + F_3N-2 = 2F_3N + F_3N-1 = F_3N+1.
Und damit ist die Tabelle erklärt.