Fibonacci
Numerische Methoden zur Bestimmung der Wurzeln von Polynomen. (2. Teil)
Kettenbrüche
Wir haben gesehen in Methode 1 dass die positive Nullstelle der Gleichung x2 - x - 1 = 0
als Kettenbruch geschrieben werden kann, nämlich als
.
Eigentlich kann jede reelle Zahl dargestellt werden in der Form eines
Kettenbruchs.
wobei x0 eine ganze Zahl ist und x1, x2, usw. positive ganze Zahlen sind.
Das nächste Beispiel macht das klar.
Das Prinzip ist wie folgt:
Man verwandelt eine Zahl in einen Kettenbruch indem man die Zahl spaltet in eine möglichst große ganze Zahl plus einen positiven Rest.
Der Rest muß dann kleiner sein als 1. Dann ist 1/Rest größer als 1. Davon ziehen wir wieder eine möglichst große ganze Zahl ab usw.
Ein Beispiel an Hand des Bruchs 516/125:
Die Teilbrüche
werden Approximanten (oder Konvergente) genannt.
Also, die Approximanten von 516/125 sind 4, 29/7, 33/8, 161/39, 516/125.
Man kann sich leicht überzeugen dass jeder Bruch dargestellt werden kann als endlichen Kettenbruch, und
jede irrationale Zahl als einen unendlichen Kettenbruch.
Anwendung
1.) Die größte reelle Nullzahl der Gleichung x3 - 3x2 + 2x - 1 = 0
wird wie folgt berechnet:
Wenn man x=2 in das linke Glied substituiert, dann gibt das -1, und wenn man x=3 substituiert gibt das +5.
Also ist die Nullstelle 2 + ein Rest, mit einem Rest zwischen 0 und 1. Schreib jetzt x = 2 + 1/y und substituier
das in die Gleichung. Das gibt die Gleichung:
y3 - 2y2 - 3y - 1 = 0.
Substitution von y=3 und y=4 ergibt dass y etwas größer ist als 3. Substituier y = 3 + 1/z.
(Also x = 2 + 1/(3 + 1/z)). Es wird wohl klar sein wie dies weiter geht.
Man findet also x = 2 + 1/(3 + 1/(12+...)).
Nun ist 2 + 1/(3 + 1/12) = 2.3243... und das ist eine gute Annäherung der Nullstelle 2,3247...
Bemerke: Nach 3 Schlägen bekommt man ein viel besseres Resultat als nach 7 Schlägen mittels Methode
3 der vorigen Seite!
2.) Wir suchen jetzt eine annäherende Lösung der Gleichung 2x = 5.
Wohlan, 22 = 4 und 23 = 8, also x = 2 + 1/y mit y > 1.
Dann ist 22 + 1/y = 5, oder 21/y = 5/4, oder (5/4)y = 2.
(5/4)3 < 2 und (5/4)4 > 2, also y = 3 + 1/z.
Dann: (5/4)3 + 1/z = 2 oder (128/125)z = 5/4.
Wir finden hiermit in einer einfachen Weise x = 2 + 1/y = 2 + 1/(3 + 1/z) = ... .
Bemerke: 2+1/3 = 2.33... ist schon eine ordentliche Annäherung von x = 2,32... .
3.) Ein sonderbarer Satz:
Es sei anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 = 0
eine Polynomgleichung mit n verschiedenen (n > 1) reellen Nullstellen. Die Koeffiziente an, an-1, an-2, ..., a1, a0 sind ganze Zahlen.
Es sei D die kürzeste Distanz zwischen 2 Nullstellen und m die kleinste positive ganze Zahl, so dass D > 2/Fm
und D > (1 + 1/((1+1/(m+1))1/m-1))/(FmFm+1),
Stelle nun x da als einen endlichen Kettenbruch, wobei die Elemente
x0, x1, x2, ..., xm willkürliche positive ganze Zahlen sind und wobei xm+1 = y,
dann resultiert die Substitution dieses Kettenbruchs in die Polynomgleichung in einer Polynomgleichung in y mit der Eigenschaft
dass höchstens eine Zeichenwechslung in der Koeffizientenreihe auftreten kann.