Es ist manchmal möglich die Vereinfachung einer Summe mit vielen Gliedern anschaulich zu machen mit einem Bild.
Als Beispiel wählen wir sie Summe 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1).
Zähle die Anzahl der Quadrate einer Farbe zusammen.
Man kann vom Bild sofort ablesen dass 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2.
Wir betrachten nun ein Beispiel mit Fibonaccizahlen: g2,n = F12 + F22 + F32 + ... + Fn2
Eine kurze Schreibweise für g2,n findet man z.B. folgendermaßen:
Lege ein Quadrat mit Länge F1 an ein Quadrat mit Länge F2.
Dann entsteht ein Rechteck mit Breite F2 und Länge F3 (oder F12 + F22 = F2F3).
Lege jetzt an dieses Rechteck ein Quadrat mit Länge F3, so dass ein Rechteck mit Breite F3 und Länge F4 entsteht (oder F12 + F22 + F32 = F3F4).
Mache so weiter. Wir finden auf diese Weise g2,n = FnFn+1
Am gleichen Bild können wir auch noch eine Formel für g1,n = F1 + F2 + F3 + ... + Fn ablesen,
wenn wir die Längen der Seiten, die die obere und linke Seite der fünf Teilbilder begrenzen zusammenzählen.
Ein anderes Beispiel ist zu entdecken bei der Reihe von Perrin.
Auch die übrigen Beispiele der vorigen Seite sind anhand Bilder anschaulich zu machen. Stapele die einzelnen Bilder des letzten Beispiels auf und füge zwei freie 1x1 Quadrate hinzu zur Ergänzung eines Quadrats.
Das erzeugt eine Formel für F1F2 + F2F3 + F3F4 + ... + F2nF2n+1.
Die Einzelkeiten werden dem interessierten Leser überlassen.
Pfade
In der Einführung haben wir besprochen
wie viel Weisen es gibt um einen Pfad mit Länge n (und Breite 1) mit Hilfe von Quadratische
und Biquadratische Steine zu bilden. Das kann in Fn+1 Weisen.
Wir können das Pfadeproblem auch nutzen um Summen wie g1,n = F1 + F2 + F3 + ... + Fn oder g2,n = F12 + F22 + F32 + ... + Fn2
zu vereinfachen.
Wir fangen an mit g1,n
In dem Pfadeproblem aus der Einführung können wir uns fragen:
Wo liegt der letzte 1x2-Stein? Besetzt dieser Stein die i-te und i+1-ste Stelle, dann kann der vorangehende Teil des Pfades auf Fi Weisen aufgebaut sein.
Das i kann variieren zwischen 1 und n-1. Also, die Gesamtzahl der möglichen Pfade kann ich auf 2 Weisen ausdrücken: Fn+1 = F1 + F2 + F3 + ... + Fn-1 + 1.
Das letzte Glied 1 ist zu erklären dadurch, dass es natürlich auch möglich sei dass gar keine 1x2-Steine benutzt werden.
Also g1,n = Fn+2 - 1
Wir werden jetzt eine Formel für g2,n bestimmen.
Wir brauchen wieder das Pfadeproblem aus der Einführung:
Lege diesmal zwei parallelen Pfade. Bei dem linken Pfad lassen wir die letzte n-te Stelle weg.
Die Anzahl Pfade (Muster)
ist also FnFn+1.
Wir betrachten nun wo der letzte 1x1-Stein liegt.
Dafür kommen nur die folgenden Stellen in Betracht:
Die n-te Stelle des rechten Pfades; die n-1-ste Stelle des linken Pfades; die n-2-te Stelle des rechten Pfades;
die n-3-te Stelle des linken Pfades, usw.
Setze mal voraus dass der letzte 1x1-Stein auf der i-ten Stelle liegt, dann kann der übrige Teil (vor der i-ten Stelle)
in beiden Pfaden auf Fi Weisen gelegt sein, also insgesamt auf Fi2 Weisen. Wir finden also,
indem wir alle möglichen Werte für i durchlaufen, dass
FnFn+1 = F12 + F22 + ... + Fn2
