Fibonacci

Darstellungen einer Zahl

Wir werden die Frage beantworten, ob jede positive ganze Zahl dargestellt werden kann als Summe von verschiedenen Fibonaccizahlen.
Wir zeigen für jede Zahl m dass man alle Zahlen kleiner als F_m+2 schreiben kann als Summe von verschiedenen Termen der Reihe F₁, F₂, ..., F_m.
Es ist leicht festzustellen dass die Behauptung stimmt für m=1.
Nehmen wir mal an, wir hätten schon gezeigt dass die Behauptung stimmt für m=1,2,3,...,n. Gibt es dann ein Rezept dass uns daraus die Richtigkeit für m=n+1 liefert? Ja, nämlich indem wir die Zahl F_n+1 hinzuzälen zu den Representationen der Zahlen F_n bis F_n+2.
Das liefert die extra Zahlen F_n+2 bis F_n+3. Also werden nun alle Zahlen kleiner als F_n+3 representiert mit Hilfe der Terme F₁, F₂, ..., F_n+1.
Wir können jetzt in gleicher Weise aus der Richtigkeit der Behauptung fü m=1,2,...,n+1 die Richtigkeit für m=1,2,...,n+2 zeigen usw.