Fibonacci

Darstellungen einer Zahl (zweiter Teil)

Wir wissen bereits dass jede positive ganze Zahl als Summe von verschiedenen Fibonaccizahlen dargestellt werden kann.
Darbei betrachteten wir F₁ und F₂ als verschieden, obwohl sie den gleichen numerischen Wert 1 haben.
Das führt zu der nächsten Frage: Gesetzt, wir entfernen aus der Fibonaccireihe eine einzige Zahl (z.B. F₂). Ist es dann noch möglich jede positive ganze Zahl darzustellen? Diese Frage werden wir jetzt beantworten. We unterstellen dass F_n entfernt wird (n>1).
Wenn für eine bestimmte Zahl k>n jede Zahl kleiner als F_k eine Representation hat ohne Term F_n, dann gilt das auch für jede Zahl kleiner als F_k+1 (Zähle F_k zu den Representationen für 0 bis F_k-1), und infolgedessen auch fü alle Zahlen kleiner als F_k+2 usw.
Nun sind (wie wir schon wissen) alle Zahlen kleiner als F_n+1 zu representieren mit Hilfe der verschiedenen Terme aus F₁,..., F_n-1. Also können wir hieroben für k wählen k=n+1.
Damit ist tatsächlich der Satz bewiesen.

Zwei Fibonacciterme weglassen ist nicht erlaubt, denn wenn wir F_a und F_n weglassen mit a<n, dann ist (F₁+F₂+...+F_n) - F_n - F_a = F_n+2 - 1 - F_n - F_a = F_n+1 - 1 - F_a < F_n+1-1. Also ist F_n+1-1 nicht zu representieren.