Fibonacci

Quadrate in der Fibonaccifolge (2. Teil)

Wir müssen die Sache anders anfassen um weiter zu kommen. Die nächste Methode wird zeigen dass auch die Fibonaccizahlen mit Index 12k-11, 12k-10 oder 12k-1 nicht quadratisch sein können. Dann bleiben als mögliche Kandidaten nur noch die Fibonaccizahlen mit Index 12k übrig.
Die drie obenerwähnten Indexe fassen wir zusammen indem wir sie schreiben als 12k+q mit q = -1, 1 oder 2 und k≥0. Immer gilt F_q = 1. Es liegt nahe eine der vielen Formeln zu nutzen.
Wir betrachten die Formel 17a.)):
F_2m+n + (-1)^mF_n = F_m+nL_m (*)
Für m=6k und n=q gibt das F_12k+q + 1 = F_6k+qL_6k

Wenn F_12k+q ein Quadrat sein würde (sage x²), so würde L_6k die Zahl x² + 1 teilen. Alle Teiler von x² + 1 sind von der Form 4m+1 oder 2(4m+1) (Beweis), also würde dann auch L_6k diese Form haben.
Wenn ich zeigen kann dass L_6k nicht diese Form hat, dann haben wir einen Wiederspruch und dann hat sich unser Ansatz, dass F_12k+q ein Quadrat sein würde, als Falsch erwiesen.
Leider, L_6k ist immer von der Form 4m+1 oder 2(4m+1).
Wir geben noch nicht auf, denn es zeigt sich, wenn wir die Lucasfolge betrachten, dass keine der Lucaszahlen L_2^r von der Form 4m+1 oder 2(4m+1) ist.
(Beweis: (Vollständige Induktion) L₂ = 4.0+3. Wenn L_2^r = 4p+3, dann ist (sieh 18.)) L_2^(r+1) = L_2^r²-2 = (4p+3)²-2 = 4p'+3 für gewisses p').
Wir werden jetzt versuchen L_6k durch L_2^r zu ersetzen.

Wir können 12k schreiben als 2^r+1(2t+1) für gewisses r>0 und t>0.
Wegen der Lesbarkeit definieren wir nun für alle ganze Zahlen s: a(s) = 2^r(4t+s)+q.
Bemerke dass 12k+q = a(2).
Ersetze n = 2^r und m = a(s) in (*):
F_a(s+1) + F_a(s-1) = F_a(s)L_2^r.

Jetzt ist F_12k+q + 1 =
F_12k+q + F_q =
F_a(2) + F_a(-4t) = {{Telskopsumme}}
(F_a(2) + F_a(0)) - (F_a(0) + F_a(-2)) + (F_a(-2) + F_a(-4)) - (F_a(-4) + F_a(-6)) + ... + (F_a(-4k+2) + F_a(-4k)) =
F_a(1)L_2^r - F_a(-1)L_2^r + F_a(-3)L_2^r - F_a(-5)L_2^r + ... + F_a(-4k+1)L_2^r

Wir können hieraus folgern dass L_2^r ein Teiler ist von F_12k+q + 1.
Wenn F_12k+q ein Quadrat sein würde (sage x²), dann wäre L_2^r ein Teiler von x² + 1, und dieser Ansatz ist, wie wir schon wissen, falsch.
Also kann F_12k+q nie ein Quadrat sein.