Fibonacci

Perrin und Fibonacci

Auf der vorigen Seite wurde eine besondere Eigenschaft der Polynome
x² - x - 1 en x³ - x - 1 gezeigt.
Auf dieser Seite werden noch einige Unterschiede und Ähnlichkeiten zwischen diesen Polynomen betrachtet.
Zuerst: die größte Nullstelle der Polynome ist beziehungsweise
φ = (1 + (1 + (1 + ...))) und τ = (1 + (1 + (1 + ...))). (sieh Numerische Anwendung Fibonacci)

Die Zahlenfolge definiert durch P₁ = 0, P₂ = 2, P₃ = 3 und
P_m+3 = P_m+1 + P_m wird die Perrinfolge genannt.
Die Folge Brüche P₂/P₁,P₃/P₂,P₄/P₃,... strebt gegen die einzige reelle Nullstelle τ der Gleichung x³ - x - 1 = 0 (sieh Numerische Anwendung Fibonacci).
Wie bekannt (sieh Numerische Anwendung Fibonacci) strebt die Zahlenfolge F₂/F₁,F₃/F₂,F₄/F₃,... gegen die Nullstelle φ der Gleichung x² - x - 1 = 0.
Die Perrinfolge ist eine Lösung der Rekursion P_m+5 = P_m+4 + P_m (was einfach gezeigt werden kann).
Für die Zahlen der Perrinfolge gilt: n teilt P_n wenn n eine Primzahl ist. Leider ist die Umkehrung nicht richtig, das heißt: Wenn n eine Primzahl ist, dann ist P_n nicht unbedingt eine Primzahl, obwohl das nicht so oft passiert (q=271441 ist die kleinste nicht-Primzahl mit: q teilt P_q).

Betrachte eine Reihe Quadrate. Die Längen der Seiten dieser Quadrate sind aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen. Man kann diese Quadrate spiralförmig aufrollen (sieh das linke Bild).
Das gleiche ist auch möglich mit einer Reihe gleichseitigen Dreiecke. Die Längen der Seiten dieser Dreiecke sind aufeinanderfolgende Perrinzahlen (sieh das rechte Bild).
Das Dreieck mit Seiten der Länge P₃ (wir werden es mit Dreieck P₃ andeuten) überlappt etwas Dreieck P₅.
(Damit deutlich wird das die Längen der Dreiecke tatsächlich Perrinzahlen sind, bemerke ich dass wir ein Dreieck P_m um eine seiner Seiten derart spiegeln können, dass eine seiner Seiten und eine Seite des Dreiecks P_m+1 zusammenfallen (das heißt ihre Verlängerungsstücke), und dass die zwei Seiten parallel zu einer Seite des Dreiecks P_m+3 sind und gleich lang sind).

     

Wenn wir die Flächen der Quadrate zusammenzählen dann bekommen wir die Formel:
F₁² + F₂² + F₃² + ... + F_n² = F_nF_n+1
Für die Dreiecke bekommen wir eine ähnliche Formel:
P₁² + P₂² + P₃² + ... + P_n² = P_n+2² - P_n-1² - P_n-3² - 1 = 2P_nP_n+1 - P_n-2² - 1.