Fibonacci

Der Satz von Hurwitz

Wir wollen den nächsten Satz beweisen:
Wenn x eine irrationale Zahl ist, dann gibt es unendlich viel Brüche a/b wofür |x - a/b| <1/(5 b²)
Wir werden dazu nicht die Eigenschaften von Approximanten nutzen, sondern die von Fareyfolgen.

We unterstellen dass x liegt im (geschlossenen) Segment I = [φ-1, φ]    (φ = (1 + 5)/2).
Wir werden zeigen dass:
Wenn a/b und c/d Nachbarn sind in einer Fareyfolge, und a/b < x < c/d, dann ist entweder |x - a/b| <1/(5 b²) oder |x - c/d| <1/(5 d²) oder |x - (a+c)/(b+d)| <1/(5 (b+d)²)
Damit ist dann zugleich den Satz bewiesen, da es für jede ganze Zahl N Fareynachbarn a/b und c/d gibt mit a/b < x < c/d und mit b > N und d > N.

Nehme mal an dass a/b und c/d Nachbarn sind in einer Fareyfolge, und a/b < x < c/d.
Wir zeigen zunächst: Wenn b/d nicht in I liegt, dann ist |x - a/b| <1/(5 b²) oder |x - c/d| <1/(5 d²).
Wir beweisen die Umkehrung. Es sei x - a/b ≥ 1/(5 b²) und c/d - x ≥ 1/(5 d²).
Hieraus muss man dann schliessen dass b/d in I liegt. Wohlan,
addieren liefert uns: c/d - a/b ≥ 1/5 (1/b² + 1/d²), oder
{{ Wende an c/d - a/b = (bc - ad)/bd = (Eigenschaft einer Fareyfolge) 1/bd und multipliziere die Ungleichung mit 5b²}}
5(b/d) ≥ 1 + (b/d)² oder
(b/d)² - 5(b/d) + 1 ≤ 0.
Die Nullstellen der Gleichung z² - 5z + 1 = 0 sind φ und φ-1, also b/d liegt in I.

Wir haben jetzt den wichtigen Zwischensatz: Wenn b/d nicht in I liegt, dann ist |x - a/b| <1/(5 b²) oder |x - c/d| <1/(5 d²).
Nun sei b/d eine Zahl in I.
Es gibt zwei Möglichkeiten:
Möglichkeit 1: a/b < x < (a+c)/(b+d) oder
Möglichkeit 2: (a+c)/(b+d) < x < c/d.
Liegt Möglichkeit 2 vor: Da b/d in I liegt ist b/d + 1 grösser als φ, und infolgedessen liegt (b+d)/d = b/d+1 nicht in I.
Der Zwischensatz besagt dann: |x - (a+c)/(b+d)| <1/(5 (b+d)²) oder |x - c/d| <1/(5 d²).
Wenn die erste Möglichkeit vorliegt: Bemerke dass φ-1 = 1/φ.
Das bedeutet für einen Bruch y, dass wenn y (k)ein Element von I ist, dann ist 1/y das auch (nicht).
b/d liegt in I, dann auch d/b. Aber dann liegt d/b+1 = (b+d)/b nicht in I und deswegen b/(b+d) auch nicht.
Der Zwischensatz besagt dann: |x - a/b| <1/(5 b²) oder |x - (a+c)/(b+d)| <1/(5 (b+d)²).
Hiermit ist alles bewiesen.