Die Farbenpalette:
Die Farben machen das Bild schöner. Aber das ist nicht der Hauptgrund für die Nutzung der verschiedenen Farben. Die eigentliche Mandelbrotmenge ist der schwarzgefärbte Teil des Bildes. Wenn man sich auf zwei Farben beschränkt (schwarz: Mandelbrot, weiß: nicht Mandelbrot), dann ist der Rand der Mandelbrotmenge kaum zu sehen wegen der schlechten Bildschirmauflösung. Durch den Gebrauch verschiedener Farben wird auch die Mandelbrotmenge besser sichtbar. Die nachfolgenden Farben werden verwendet:Schwarz, wenn nach 100 Iterationen die Reihe (x0,y0), (x1,y1), ... noch immer nicht den Kreis um (0,0) mit Radius 2 hat verlassen. (Unter dem grauen Strich wird erklärt warum hier der Radius 2 sein soll).
Grau, wenn das Verlassen geschieht zwischen 70% und 100% der maximalen Anzahl Iterationen,
Grün, zwischen 50% und 70% der maximalen Anzahl Iterationen,
Gelb zwischen 30% und 50% und Oranien zwischen 10% und 30%.
Wenn man auf das blaue Quadrat klickt, wird die maximale Anzahl Iterationen mit 2 erhöht.
Wenn die Reihe (x0,y0), (x1,y1), ... den Kreis um (0,0) mit Radius 2 verlassen hat, kehrt sie nie wieder zurück und die Reihe wird unaufhaltsam in die Unendlichkeit davonlaufen.
Das wollen wir hier zeigen.
Bemerke dass für die Punkte (a,b) der Mandelbrotmenge gilt
(a2 + b2) ≤ 2 (wie im Bild der Mandelbrotmenge zu sehen ist).Nehme mal an, dass (xn,yn) liegt ausserhalb des Kreises mit Radius 2, also sage
(xn2 + xn2) > 2 + e, mit e>0.Dann ist, wie jetzt bewiesen wird
(xn+12 + yn+12) > (1+e)(xn2 + xn2),und deshalb
(xn+12 + yn+12) > 2 + e, so dass (xn+22 + yn+22) > (1+e)2(xn2 + xn2) > (1+2e)(xn2 + xn2) und (mit vollständiger Induction)
(xn+k2 + yn+k2) > (1+ke)(xn2 + xn2).Wir können also schliessen, dass die Reihe divergiert ins Unendliche. Beweis:
xn+12 + yn+12 = ( xn2 - yn2 + a)2 + (2xnyn + b)2 =
{{ Überzeugen Sie sich von der Richtigkeit dieser Gleichung}}
(xn2 + yn2 -
(a2 + b2))2 + 2((a2 + b2) + a)(yn + ((a2 + b2) - a)xn/b)2 ≥{{ Bemerke
(a2 + b2) ≥ (a2) ≥ a }}(xn2 + yn2 -
(a2 + b2))2 >{{ xn2 + yn2 >
(xn2 + yn2) > 2 ≥ (a2 + b2) }}(xn2 + yn2 -
(xn2 + yn2))2 =(xn2 + yn2)(
(xn2 + yn2) - 1)2 >(1 + e)2(xn2 + yn2).