5)/2 und s = (1 - 5)/2 die Nullzahlen der quadratischen Gleichung x2 + x + 1 = 0.Es gilt: r + s = 1, rs = -1 und r = s +
5.Es sei nun q eine positive Zahl kleiner als 1.
Wir werden zeigen dass es nur endlich viel Brüche a/b gibt mit der Eigenschaft |r - a/b| < q/(
5 b2).Es seien a und b ganze Zahlen und |r - a/b| < q/(
5 b2).Dann (br-a)(bs-a) = b2rs - ab(r+s) + a2 = -b2 - ab + a2.
Das rechte Glied ist eine ganze Zahl, aber ungleich 0, denn r und s sind irrational.
Dann: 1 ≤ |(br-a)(bs-a)| = b2|r-a/b||s-a/b| = b2|r-a/b||r-a/b-
5| ≤
b2|r-a/b|(|r-a/b| + 5) < b2(q/(5 b2))(q/(5 b2)+5)
= q2/(5b2) + q.So q2/(5b2) + q > 1 oder
q2/(5b2) > 1 - q oder
q2 > (1-q)(5b2) oder
5b2 < q2/(1-q).
Die Zahl b ist offenbar immer kleiner als q/
(5-5q).Es gibt also nur endlich viel Brüche a/b wofür |r - a/b| < q/(
5 b2).Beachte: Wenn r = 1+
2 und s = 1-2, dann gilt:Es gibt nur enlich viel Brüche a/b wofür |r - a/b| < q/(
8 b2).Der Beweis dafür verläuft ähnlich wie beim obigen Beweis.