Fibonacci
Beweis:
Wir wollen zeigen dass alle Teiler von x2 +1 geschrieben werden können als 4m + 1 oder 2(4m + 1).
Wir haben mit Hilfe von Fareyfolgen schon gezeigt
dass falls n, x2 +1 teilt, dann
kann n geschrieben werden als Summe von zwei teilerfremden Quadraten von ganzen Zahlen.
Mir anderen Worten, wenn n, x2 +1 teilt, dann ist n = a2 + b2 (für gewisses a und b).
a und b sind nicht beide gerade Zahlen, denn a und b haben keine gemeinsamen Teiler. Also beide sind ungerade oder die eine ist gerade und die andere ungerade.
Kurz n = a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4(k(k+1) + m(m+1)) + 2 = 8(k(k+1)/2 + m(m+1)/2) + 2 oder
n = a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m)2 = 4(k(k+1) + m) + 1. (für gewisses m und k).
Damit ist alles gezeigt.