Fibonacci

F_24k+12 ist teilbar durch 144 und nicht teilbar durch 288.

Wir nutzen die Formel:
F_pL_q + L_pF_q = 2F_p+q ( sieh 15.) )

Wir beweisen mit vollständiger Induktion dass F_24k+12 teilbar ist durch 144 und nicht durch 288.
Die Annahme ist richtig für k=0, denn F₁₂ = 144 ist teilbar durch 144 und nicht durch 288.
Nehmen wir mal an, die Annahme stimme für k=n. Dann ist:
2F_24(n+1)+12 = F_24n+12L₂₄ + L_24n+12F₂₄
F_24n+12 = 144*(2u+1) für gewisses u (laut Annahme mit k=n).
L₂₄ = 103682 = 2*51841.
L_24n+12 = 2*(2v+1) für gewisses v (sieh unten).
F₂₄ = 46368 = 2*144*161.
Also 2F_24(n+1)+12 = 144*(2u+1)*2*51841 + 2*(2v+1)*2*144*161 oder:
F_24(n+1)+12 = 144*((2u+1)*51841 + 2*(2v+1)161).
Diese Zahl ist teilbar durch 144, aber nicht durch 288.
Das zeigt dass die Annahme auch stimmt für k=n+1.
Offenbar ist F_24k+12 teilbar durch 144 und nicht durch 288 für jedes k.



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Behauptung: Für jedes k ist L_6k gerade aber nicht teilbar durch 4.
Mit vollständiger Induktion.
L₀ = 2, also ist die Behauptung korrekt für k=0.
Nehme mal an dass n≥0 und L_6n = 2(2u+1) für gewisses u.
Wir wollen zeigen dass L_6(n+1) = 2(2v+1) für gewisses v.
Formel 16.) sagt
L_pL_q + 5F_pF_q = 2L_p+q
Also 2L_6(n+1) = L_6nL₆ + 5F_6nF₆ =
2(2u+1).18 + 5*F_6n*8.
Also L_6(n+1) = 2*(9*(2u+1) + 2*L_6n) = 2*(2v+1) für gewisses v.
Die Behauptung ist also auch richtig für k=n+1 uns deswegen für jedes k.