Wenn x eine irrationale Zahl ist, dann gibt es unendlich viel Brüche a/b so dass |x - a/b| <1/(
5 b2)Um damit die Irrationalität einer Zahl nach zu weisen, brauchen wir noch den nächsten Satz:
Wenn x eine rationale Zahl ist, dann gibt es nur endlich viel Brüche a/b so dass |x - a/b| <1/(
5 b2)Das ist einfach zu beweisen. Wenn x = c/d ist mit d > 0 und
a/b ein Bruch ungleich c/d mit b > d, dann ist
|c/d - a/b| = |cb - ad|/(bd) ≥ 1/(bd) > 1/b2 > 1/(
5 b2).Also gibt es nur endlich viel Brüche a/b wofür |c/d - a/b| < 1/(
5 b2).Die Irrationalität der goldenen Ratio ergibt sich nun unmittelbar aus dem Beweis auf der Seite goldenratio.htm.
Die Irrationalität der goldenen Ratio ergibt sich natürlich auch aus der Tatsache dass die goldene Ratio einen unendlichen Kettenbruch hat.