Bewijs:
We willen het volgende aantonen met behulp van volledige induktie.Als a/b en c/d naaste buren zijn in het n-de rijtje van Farey, dan is bc - ad = 1.
Deze bewering is juist voor n=1. Het eerste rijtje van Farey is namelijk 0/1 1/1.
Stel nu dat de bewering juist is voor n=N.
Veronderstel dat x/y in het N+1-ste rijtje van Farey voorkomt, maar nog niet in het N-de.
Dan is noodzakelijkerwijs y=N+1.
Er geldt: a/b < x/y < c/d voor zekere naaste buren a/b en c/d uit het N-de rijtje van Farey.
We gaan nu aantonen dat bx - ay = 1 en yc - xd = 1.
Stel even dat bx - ay = p en yc - xd = q.
Dan is zeker p≥1 en q≥1 (hetgeen volgt uit de ongelijkheden a/b < x/y en x/y < c/d).
Los nu x en y op uit het stelsel bx - ay = p en yc - xd = q.
{{
}}en daar volgens de induktieveronderstelling bc - ad = 1 is x = cp + aq en y = dp + bq.
N+1 = y = dp + bq ≥ d + b. Nus is y = d+b, want als d+b < y, dan is (c+a)/(d+b) of een vereenvoudiging hiervan een element uit het N-de rijtje van Farey. Maar a/b < (c+a)/(d+b) < c/d zoals men eenvoudig kan nagaan.
Dit is onmogelijk, want a/b en c/d zijn naaste buren, dus:
y = d + p en dp + bq = d + q. Maar dat kan alleen zo zijn als p = q = 1.
Dus x = cp + aq = c + a.
We kunnen nu dus concluderen dat er hoogstens één breuk x/y in het N+1-ste rijtje van Farey tussen a/b en c/d kan zijn en dat dan x/y = (a+c)/(b+d).
Verder: bx - ay = b(c+a) - a(d+b) = bc - ad = 1 en yc - xd = (d+b)c - (c+a)d = bc - ad = 1.
Dit toont aan dat de stelling juist is voor n=N+1, en derhalve voor elke n.