Fibonacci
Fp en Lp door p delen: (1)
Uit 15 en 16 volgt:
a.) 2Fn+1 = Fn + Ln en
b.) 2Ln+1 = 5Fn + Ln.
Omgekeerd geldt ook, dat als
c.) 2an+1 = an + bn en
d.) 2bn+1 = 5an + bn en
a1 = a2 = 1,
dan is an = Fn en bn = Ln voor alle n.
Het bewijs is niet moeilijk. Uit c.) volgt bn = 2an+1 - an, dus 2bn+1 = 4an+2 - 2an+1.
Substitueren in d.) geeft: 4an+2 - 2an+1 = 5an + 2an+1 - an.
en dit geeft na enig geschuif an+2 = an+1 + an.
En daar a1 = a2 = 1 geldt dus a = F.
Nu is bn = 2an+1 - an = 2Fn+1 - Fn = {{volgens a.)}} Ln voor elke n.
Vervolg...