Biljarten, bomen en bits (4)
f(k) = 1 voor k = 1,3,4,6,8,9,11,... Er is een eenvoudiger procédé om dit rijtje te genereren:
We maken een rijtje a1, b1, a2, b2, a3, b3, ... van positieve gehele getallen volgens het volgende voorschrift:
an is het kleinste positieve gehele getal dat nog niet in het rijtje is opgetreden (dus a1 = 1).
bn = an + n.
Bekijk nu afzonderlijk de rijtjes a1, a2, a3, ... en b1, b2, b3, ...
Dit blijken te zijn de rijtjes 1,3,4,6,8,9,11,... en 2,5,7,10,13,15,18,...
Merk op dat het eerste rijtje ons rijtje [φ], [2φ], [3φ], ... is.
Het tweede rijtje is het rijtje [φ2], [2φ2], [3φ2], ... (bewijs).
Hieruit blijkt wel dat elk positief geheel getal geschreven kan worden als [nφ2] of als [nφ].
Het is zelfs zo dat elk positief geheel getal geschreven kan worden als [nφ2] - [nφ].
Merk ook op dat als ai = Fn, dan is bi = Fn+1 en omgekeerd.
Bovendien is dan n even. Hetzelfde geldt voor Lucasgetallen (bewijs).
