Bijna juist (3)
Voor deze recursie an+4 = 6an+3 + 7an+2 - 5an+1 - 6an
geldt (zie Methode 3) dat het
quotient an+1/an met toenemende n nadert tot een nulpunt van
x4 - 6x3 - 7x2 + 5x + 6 = 0.
Deze vergelijking heeft twee reële nulpunten. Met een rekenmachientje is na te gaan dat
x4 - 6x3 - 7x2 + 5x + 6 = (x - c1)(x - c2)(x2 + d1x + e1)
met c1 > 1 en -1 < c2 < 1 en 0 < e1 < 1.
Het is heel bijzonder dat c1n bijna een geheel getal is voor grote waarden van n.
In het algemeen geldt dat een veelterm xk + bk-1xk-1 + ... + b1x + b0 met gehele coefficiënten
kan worden ontbonden in lineaire en kwadratische termen:
(x - c1)(x - c2)...(x - cm)(x2 + d1x + e1)...(x2 + dk-mx + ek-m)
Als nu c1 > 1 en -1 < ci < 1 voor 1 < i ≤ m en 0 < ei < 1 voor i ≤ k-m, (dus alle nulpunten op één na liggen binnen de eenheidscirkel)
dan is c1n voor grote waarde van n bijna een geheel getal (hetgeen m.b.v. de methode uit Een algebraische benadering aan te tonen is).
