Numerieke methoden ter bepaling van nulpunten van veeltermen. (13)
Merk op (en dat geldt in het algemeen) dat de approximanten afwisselend links en rechts van de rechte lijn liggen.
Deze eigenschappen van approximanten wordt wel benut in een bewijs van de volgende beroemde stelling:
Is x een irrationaal getal, dan zijn er oneindig veel breuken a/b zo dat |x - a/b| <1/(
5 b2)
(bewijs).
Deze stelling kan worden gebruikt om van een getal aan te tonen of het wel of geen breuk is (voorbeeldje).
Men kan bewijzen dat van elk drietal opeenvolgende approximanten er minstens één aan die ongelijkheid voldoet.
In die stelling staat het getal 5. Dat getal kunnen we in het algemeen niet door een groter getal vervangen.
Als we dat namelijk wel doen, dan is de stelling onjuist voor x = (1 + 5)/2 (de gulden ratio)(bewijs).
Laten we de gulden ratio en verwante waarden buiten beschouwing, dan geldt:
Er zijn oneindig veel breuken a/b zo dat |x - a/b| <1/(8 b2).
Ook hier mogen we 8 niet zonder meer vervangen door een groter getal. De boosdoeners zijn
nu 1 + 2 (bewijs)
en daarmee verwante getallen.
We kunnen zo verder gaan. De wortels die in de noemer verschijnen blijken daarbij de volgende vorm te hebben
(9 - 4/n2), waarbij n niet zomaar elk geheel getal kan zijn; n moet namelijk
een van de getallen zijn uit de volgende (oneindige) figuur.
