Een bijzondere eigenschap (slot)
We weten nu dat F(n,m) een deler is van Fn en van Fm, maar is het ook de grootst mogelijke gemeenschappelijke deler?
Met andere woorden: Als X een deler is van zowel Fn als Fm, dan moeten we aantonen dat X≤ F(n,m)
Stel X is een deler van zowel Fn als Fm. Dan is X ook een deler van
Fqn en Fpm voor elke waarde van p en q.
Nu is (m,n) = pm - qn voor zekere natuurlijke getallen p en q. (bewijs)
Vervang nu in de hulpformule Fm+n = Fm-1Fn + FmFn+1, m door (m,n) en n door qn. Dan is
Fpm = F(m,n)-1Fqn + F(m,n)Fqn+1
Hieraan zien we dat X een deler is van F(m,n)Fqn+1.
Nu is X een deler van Fqn, dus niet van Fqn+1 (zie probleem 2).
Dus X is een deler van F(m,n) en de stelling is bewezen.
