Getalrepresentaties (2)
We weten nu dat elk (positief geheel) getal te schrijven is als een som van verschillende Fibonaccigetallen.
Daarbij werden F1 en F2 beschouwd als zijnde verschillend, hoewel ze beide de waarde 1 hebben.
Dat leidt tot de volgende vraag: Stel we schrappen uit de rij van Fibonacci een getal (bijvoorbeeld F2). Kan dan
nog steeds elk getal worden gerepresenteerd? Die vraag gaan we nu beantwoorden. We veronderstellen dat Fn wordt geschrapt (n>1).
Als voor zekere k>n elk getal kleiner dan Fk een
representatie heeft zonder term Fn, dan geldt dat ook voor
elk getal kleiner dan Fk+1 (Tel maar Fk op
bij de representaties voor 0 tot Fk-1), en dus voor alle
getallen kleiner dan Fk+2 enz.
Nu zijn (zoals we reeds weten) alle getallen kleiner dan Fn+1
te representeren met verschillende termen uit F1,...,
Fn-1. Dus kunnen we hierboven voor k kiezen k=n+1.
En daarmee is in feite de stelling bewezen.
Twee Fibonaccitermen weglaten is niet mogelijk, want als we
Fa en Fn weglaten met a<n, dan is
(F1+F2+...+Fn)
- Fn - Fa =
Fn+2 - 1 - Fn - Fa =
Fn+1 - 1 - Fa < Fn+1-1.
Dus is Fn+1-1 niet te representeren.
