Getalrepresentaties (slot)
Als we m(i) kennen voor i tussen Fn en Fn+1 dan levert de afgeleide recursie
alle waarden m(i) met i tussen Fn+1 en Fn+2.
Er geldt verder nog (zonder bewijs) m(Fn+2 - k) = m(Fn+1 + k - 1) voor 0 < k ≤ Fn
Om de m(i)'s snel uit te kunnen rekenen kunnen we gebruik maken van de formule
(1 + x F1 ) (1 + x F2 ) ... (1 + x Fr ) = 1 + m(1)x + m(2)x2 + ... + m(Fr+1-1)xFr+1-1 +
(m(Fr+1) - m(1))xFr+1 +
(m(Fr+1+1) - m(2))xFr+1+1 +
(m(Fr+2-1) - m(Fr))xFr+2-1
Een verzameling van ontdekte m-waarden: m(F2r) = m(F2r+1) = r+1,
m(2Fr) = 2m(Fr-2),
m(L2r-1) = m(L2r) = 2r-1,
m(F2r-12-1) = F2r,
m(F2r2-1) = L2r-1,
m(F2r-22) = F2r-1,
m(F2r-12) = L2r-2, m(F2r-1) = r.
Tot slot vragen we ons af of er een getal z bestaat zo, dat elk getal als som van maximaal z verschillende Fibonaccigetallen geschreven
kan worden. Wenu, F1 + F2 + F3 + ... + F2n-2 = F2n - 1
Het aantal termen voor F2n - 1 kan alleen gereduceerd worden door de term F2n-1 te gebruiken. Dan is
F2n - 1 = F2n-1 + (F2n-2 - 1). Voor F2n-2 - 1 geldt weer hetzelfde verhaal.
De minimale representatie voor F2n - 1 is dus F2n-1 + F2n-3 + ... + F3.
Het aantal termen stijgt met n.
