Kwadraten in de rij van Fibonacci (1)
F1 = F2 = 1 en F12 = 144. We vragen ons
hier af of dit de enige kwadraten zijn, en hoe je zoiets bewijst.
Een natuurlijk getal n is altijd of even, of oneven, dus n = 2k of n = 2k-1 voor
zeker natuurlijk getal k. Dan is n2 = 4k2 of n2 = 4k2-4k+1.
Dus, als we n2 door 4 delen, dan houden we een rest 0 of 1 over. Blijkbaar kan een kwadraat
bij deling door 4 nooit rest 2 of 3 geven.
Laten we nu eens elk Fibonaccigetal door 4 delen en kijken wat voor resten dit oplevert:
1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, ...
Het patroon 1, 1, 2, 3, 1, 0 blijft zich herhalen. (voetnoot)
We kunnen nu reeds concluderen dat alle Fibonaccigetallen
van de vorm F6k-3 en van de vorm F6k-2 geen kwadraten kunnen zijn,
want die geven bij deling door 4 rest 2 of 3.
Elk natuurlijk getal n kan ook geschreven worden in een van de vormen 3k, 3k-1 of 3k-2.
Het kwadraat n2 is dan van de vorm 9k2 of 9k2-6k+1 of
9k2-12k+4.
Dus een kwadraat levert bij deling door 3 nooit rest 2.
De Fibonaccigetallen
geven bij deling door 3 de volgende resten:
1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 ...
