Kwadraten in de rij van Fibonacci (2)
Het repeterende stuk is 1 1 2 0 2 2 1 0. Dus F8k-5, F8k-3 en F8k-2 zijn voor geen enkele k kwadraten.
We gaan nog even op deze manier verder. Elk natuurlijk getal n is van de vorm 4k, 4k-1, 4k-2 of 4k-3.
Het kwadraat n2 geeft dan bij deling door 8 als rest 0, 1 of 4.
De resten van de Fibonaccigetallen bij deling door 8 zijn:
1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1 1 ...
Het repeterende stuk is 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0. Als we deze resultaten vergelijken kunnen we constateren dat alleen de Fibonaccigetallen
van de vorm F12k-11, F12k-10, F12k-6, F12k-1 en F12k kwadratisch
kunnen zijn.
Dit laatste resultaat is veelbelovend, maar verder gaan op deze weg levert nauwelijks nog vooruitgang op.
Het laatste resultaat is echter toch nog iets te verbeteren door n te schrijven als een 8-voud plus rest.
Het kwadraat van n levert dan bij deling door 16 als rest 0, 1, 4 of 9. De bijbehorende Fibonacciresten zijn:
1 1 2 3 5 8 13 5 2 7 9 0 9 9 2 11 13 8 5 13 2 15 1 0 1 1 ...
met repeterend stuk 1 1 2 3 5 8 13 5 2 7 9 0 9 9 2 11 13 8 5 13 2 15 1 0.
Dus de Fibonaccigetallen die mogelijk kwadratisch zijn hebben als index 24k-23, 24k-22, 24k-13,
24k-12, 24k-11, 24k-10, 24k-1 of 24k. Dit rijtje kan als volgt worden samengevat
12k-11, 12k-10, 12k-1 of 12k.
