Kwadraten in de rij van Fibonacci (4)
We geven nog niet op, want het blijkt, als we het rijtje Lucasgetallen doorlopen, dat geen van de Lucasgetallen L2r (met r>0) van de vorm 4m+1 of 2(4m+1) is.
(Bewijs: L2^1 = 4*0+3. Stel r≥1 en L2^r = 4p+3, dan:
(zie 18.)) L2^(r+1) = L2^r2-2 = (4p+3)2-2 = 4p'+3, zekere p').
We zouden nu willen aantonen dat F12k+q+1 deelbaar is door L2r voor zekere r>0.
Voor L2r luidt
formule (*): Fm+2r + Fm-2r = FmL2r voor elke m en r.
Dus als we Fm+2r en Fm-2r door L2r delen dan krijgen we tegengestelde resten.
M.a.w. voor elke n geldt dat Fn en Fn-2r+1 tegengestelde resten leveren bij deling door L2r.
Dus ook dat Fn en Fn-s.2r+1 tegengestelde resten leveren als s oneven is.
Nu is 12k + q = (2j+1).2r+1 + q voor zekere j>0 en r>0 (ga na!)
Dan leveren F12k+q en F12k+q - (2j+1).2r+1 tegengestelde resten op bij deling door L2r.
Maar F12k+q - (2j+1).2r+1 = Fq, dus
F12k+q + 1 is deelbaar door L2r.
Dus F12k+q kan nooit een kwadraat zijn.
