Verdraaide breuken (2)
In de volgende stijgende rijtjes van (vereenvoudigde) breuken tussen 0 en 1 geeft het i-de rijtje alle breuken weer
met een noemer kleiner of gelijk aan i.
0 1
0 1/2 1
0 1/3 1/2 2/3 1
0 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1
0 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1
enz.
Deze rijtjes heten rijtjes van Farey. Ze hebben onverwachte eigenschappen.
Bijvoorbeeld: Als a/b en c/d naaste buren zijn in een rijtje van Farey,
dan is a*d - b*c = -1. De eerstvolgende breuk die tussen a/b en c/d wordt ingevoegd is (a+c)/(b+d) (bewijs) (Zie hier voor een toepassing).
Telkens als we een nieuw rijtje van Farey construeren zullen we ook een alternatief rijtje
construeren. Op het moment dat tussen a/b en c/d een breuk (a+c)/(b+d) wordt toegevoegd, wordt
in het alternatieve rijtje een breuk toegevoegd die het gemiddelde is van zijn buren.
