Probleem 1:
Dit is een variant op de twee problemen uit "paden en patronen" waarin een pad werd aangelegd.
Ik wil een (2 rijen breed) stenen pad aanleggen.
Daarvoor heb ik de beschikking over 2 soorten stenen.
De ene soort is vierkant (afmeting 1 bij 1) en de andere soort heeft afmeting 1 bij 2.
Vind een formule waarmee je het aantal verschillende paden (patronen) van lengte n kunt bepalen.
Bepaal hiermee het aantal paden van lengte 3,4,5 en 6 en geef alle paden weer van lengte 3.
(Hint)
Probleem 2:
Als k zowel een deler is van Fn als van Fn+1, dan is k = 1.
Dat volgt uit de formuleF(n,m) = (Fn,Fm)
en ook uit de formule (Fn)2 + Fn+1Fn - (Fn+1)2 = (-1)n+1.
De bewering is ook te bewijzen met minder grof geschut.
Toon de juistheid van de bewering aan met behulp van de recursie Fn+2 = Fn+1 + Fn.
Probleem 3:
Vereenvoudig de uitdrukking: F1/(F2F3) +
F2/(F3F4) +
F3/(F4F5) +
F4/(F5F6) + ... +
Fn/(Fn+1Fn+2).
Probleem 4:
Toon aan dat Fa+nFb+n - Fa+b+nFn = (-1)nFaFb en Fm+n-1Fn-m + Fn-m+1Fm+n = F2n
Misschien heb je iets aan de formules op de formulepagina.
Probleem 5:
We willen nu Fn + 1 en Fn - 1 schrijven als een produkt van Fibonacci en Lucas getallen.
Helaas, dat is niet mogelijk. We moeten enkele gevallen onderscheiden. Dan is het wel mogelijk.
Ontbind de volgende getallen in een produkt van Fibonacci en Lucas getallen (n≥0).
(Het is niet de bedoeling die formules van andere formules af te leiden, of van die formules een bewijs te geven).
F4n + 1 F4n+1 + 1 F4n+2 + 1 F4n+3 + 1
F4n - 1 F4n+1 - 1 F4n+2 - 1 F4n+3 - 1
Probleem 6:
a.) Toon aan met behulp van een tekeningetje dat Fn2 = Fn-12 + 3Fn-22 + 2Fn-2Fn-3.
Probleem 7:
Een toepassing van Fibonaccigetallen:
Vind alle oplossingen in positieve gehele getallen van de vergelijkingen
5x2 + 4 = y2 en van 5x2 - 4 = y2.
Het is aan te tonen dat
1.) 5x2 + 4 = y2 dan en slechts dan als
x = Fn en y = Ln en n is even.
2.) 5x2 - 4 = y2 dan en slechts dan als
x = Fn en y = Ln en n is oneven.
We bekijken nu een soortgelik probleem:
Vind alle oplossingen in positieve gehele getallen van de vergelijking (x2 - xy - y2)2 = 1.
